Кант защищает концепцию, что аксиомы математики основываются на чистой интуиции : они могут быть "усмотрены" или "восприняты" как истинные нечувственным способом "усмотрения" или "восприятия". Кроме того, чистая интуиция участвует в каждом шаге каждого доказательства в геометрии и в математике, вообще. Чтобы следить за доказательством, нам требуется глядеть на нарисованный чертеж. Это "смотрение" является не чувственной, а чистой интуицией, о чем свидетельствует то, что чертеж часто может быть убедительным, даже если будет изображен в довольно грубой манере, а также то, что рисунок треугольника может представлять для нас в одном рисунке бесконечное количество возможных вариантов треугольников всех форм и размеров.

Аналогичные рассуждения справедливы и для арифметики, которая, согласно Канту, основывается на счете — процессе, в свою очередь основывающемся, по существу, на чистой интуиции времени.

Эта теория источников математического знания в своей кантовской форме порождает серьезные трудности. Даже если мы примем, что все сказанное Кантом правильно, мы остаемся в недоумении, ибо евклидова геометрия, независимо от того, использует она чистую интуицию или нет, несомненно, опирается на интеллектуальную аргументацию, логическую дедукцию. Невозможно отрицать, что математика оперирует дискурсивным мышлением. Ход рассуждений Евклида осуществляется шаг за шагом от высказывания к высказыванию через все книги его "Начал": он не был постигнут в одном-единственном мгновенном интуитивном озарении. Даже если мы допустим ради аргументации необходимость наличия чистой интуиции в каждом отдельном шаге рассуждений без исключения, а это допущение современному человеку трудно сделать, пошаговая, дискурсивная и логическая процедура выводов Евклида так очевидна, так широко известна и ей так часто подражали Спиноза, Ньютон, что трудно представить себе, что Кант мог этого не знать. На самом деле Кант знал все это, вероятно, не хуже любого другого. Однако рассматриваемая позиция была навязана ему: 1. структурой "Критики чистого разума", в которой "Трансцендентальная эстетика" предшествует "Трансцендентальной логике", и 2. его четким различением, я бы сказал — несостоятельно четким различением, интуитивного и дискурсивного мышления. В результате почти хочется сказать, что кантовское исключение дискурсивных аргументов из геометрии и арифметики — не просто пробел, а противоречие.

То, что это не соответствует действительности, было показано Брауэром, который заполнил данный пробел. Я имею в виду теорию Брауэра об отношении между математикой, с одной стороны, и языком и логикой — с другой.